Question

10．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若$\overrightarrow m=（b，c-a）$，$\overrightarrow n=（sinC+sinA，sinC-sinB）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$．
（1）求角A；       
（2）若b+c=4，△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，求边a的长．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行的坐标公式建立方程关系，利用余弦定理即可求∠A的大小；
（2）利用三角形面积公式可求bc=3，进而利用余弦定理可求a的值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m=（b，c-a）$，$\overrightarrow n=（sinC+sinA，sinC-sinB）$，且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
∴b（sinC-sinB）-（c-a）（sinC+sinA）=0，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bc•sin\frac{π}{3}=\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$，
∴bc=3；
∴a²=b²+c²-2bc•cosA=${（b+c）^2}-2bc（1+cosA）=16-6（1+\frac{1}{2}）=7$，
∴$a=\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了向量平行的坐标公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．