Question

对于（1+2x）ⁿ（n∈N^*）的展开式，当n≥8时，若从二项式系数中任取一项，使这个二项式系数小于

C

8 n

的概率大于0.7，求n的取值范围．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由题意可得，所有的取法共有n+1项，当8≤n≤16时，由

C

r n

=

C

n-r n

可得二项式系数共有2（n-8）个数，由

2n-16

n+1

≥0.7，求得n的范围．当n≥17时，此时，二项式系数小于

C

8 n

的有16个数，由

16

n+1

≥0.7，求得n的范围，综合可得n的取值范围．

解答： 解：所有的取法共有n+1项，当8≤n≤16时，由

C

r n

=

C

n-r n

可得二项式系数共有2（n-8）个数，
故概率为

2n-16

n+1

，它的值随着n的增大而增大，由

2n-16

n+1

≥0.7，求得n=13，14，15，16．
当n≥17时，此时，二项式系数小于

C

8 n

的有

C

0 n

=

C

n n

，…，

C

7 n

=

C

n-7 n

，共计2×8=16个数．
由

16

n+1

≥0.7，求得n≤21．
故n的范围为{13，14，15，16，17，18，19，20，21}．

点评：本题主要考查二项式系数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．