题目内容

17．已知平面向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，则|2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{3}$．

分析 设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{b}$，则△OAB为边长为2的等边三角形，利用余弦定理计算出AC即为|2$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$|．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．
∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，
∴△OAB是边长为2的等边三角形，
延长OB到C，使得OC=2OB，则$\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos120°=12．
∴AC=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．

练习册系列答案
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其中正确的个数为（　　）
A．1B．2C．3D．4

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