Question

过椭圆

x2

25

+

y2

16

=1内一点（0，2）的弦的中点的轨迹方程为（　　）

• A、

  16x2

  25

  +(y-1)2=1
• B、

  25x2

  16

  +(y-1)2=1
• C、

  x2

  25

  +(y-1)2=1
• D、

  x2

  16

  +(y-1)2=1

Answer 1

分析：设弦两端点坐标为（x₁，y₁），（x₂．y₂），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k，把两端点坐标代入椭圆方程相减，把斜率看的表达式代入后整理即可得到弦中点的轨迹方程．

解答：解：设弦两端点坐标为（x₁，y₁），（x₂．y₂），诸弦中点坐标为（x，y）．弦所在直线斜率为k

x 2 1

25

+

y 2 1

16

=1

x 2 2

25

+ 

y 2 2

16

=1
两式相减得；

1

25

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

1

16

（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
即

2x

25

+

2y

16

k=0
又∵k=

y-2

x

，代入上式得

2x

25

+

2y

16

•

y-2

x

=0
整理得诸弦中点的轨迹方程：

16x2

25

+(y-1)2=1
故选A．

点评：本题主要考查了椭圆的应用及求轨迹方程的问题．考查了学生对圆锥曲线知识综合的把握．