Question

(2014·武汉模拟)已知点P是圆M：x2+(y+m)2=8(m>0,m≠)上一动点,点N(0,m)是圆M所在平面内一定点,线段NP的垂直平分线l与直线MP相交于点Q.

(1)当P在圆M上运动时,记动点Q的轨迹为曲线Г,判断曲线Г为何种曲线,并求出它的标准方程.

(2)过原点斜率为k的直线交曲线Г于A,B两点,其中A在第一象限,且它在x轴上的射影为点C,直线BC交曲线Г于另一点D,记直线AD的斜率为k′,是否存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.

 

Answer 1

（1）双曲线 -=1

（2）存在，m=

【解析】(1)因为|QN|=|QP|,

所以||QM|-|QN||=|PM|=2.

①当2<2m时,动点Q的轨迹曲线Г为以点M,N为焦点,2a=2为实轴的双曲线,其标准方程为-=1.

②当2>2m时,动点Q无轨迹.

(2)如图所示,

设A(x1,y1),D(x0,y0),则B(-x1,-y1),C(x1,0).

则y1=kx1.

直线BC的方程为y=(x-x1),即y=(x-x1).

联立化为(m2k2-2k2-8)x2-2k2(m2-2)x1x+(m2-2)(k2-8)=0.

所以-x1+x0=,

所以k′==

=-.

若存在m,使得对任意的k>0,都有|k·k′|=1,

则=1,

整理得m2=6,解得m=±(负值舍去).

因此存在m,且当m=时,满足题意.