Question

13．设函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-\frac{1}{2}（{a+1}）{x^2}$+ax+1．
（1）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即可．

解答 解：（1）f′（x）=（x-1）（x-a），
a＜1时，令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜a，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，a）递增，（a，1）递减，（1，+∞）递增，
a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞a或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：a＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，1）递增，在（1，a）递减，在（a，+∞）递增，
a=1时，f′（x）≥0，f（x）在R递增；
（2）f′（x）=（x-1）（x-a），x∈[0，1]，
a≥1时，f（x）在[0，1]递增，
∴f（x）_max=f（1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{5}{6}$，f（x）_min=f（0）=1，
a≤0时，f（x）在[0，1]递减，
∴f（x）_max=f（0）=1，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{5}{6}$，
0＜a＜1时，f（x）在（0，a）递增，（a，1）递减，
∴f（a）=-$\frac{1}{6}$a³+$\frac{1}{2}$a²+1，
a∈（0，$\frac{1}{3}$）时，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$a+$\frac{5}{6}$，
a∈[$\frac{1}{3}$，1）时，f（x）_min=f（0）=1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．