题目内容
已知F1、F2分别为椭圆
+
=1的左、右焦点，椭圆内一点M的坐标为（2，-6），P为椭圆上的一个动点，试分别求：
（1）|PM|+
|PF2|的最小值；
（2）|PM|+|PF2|的取值范围．
| x2 |
| 100 |
| y2 |
| 64 |
（1）|PM|+
| 5 |
| 3 |
（2）|PM|+|PF2|的取值范围．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）求出右准线，过点P作PN⊥l于点N，运用第二定义，可得PM|+
|PF2|=|PM|+|PN|，再由三点共线可得距离最短，即可得到所求值；
（2）运用椭圆的第一定义，|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20，再由有向线段
的延长线即可得到最值．
| 5 |
| 3 |
（2）运用椭圆的第一定义，|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20，再由有向线段
| MF1 |
解答：
解：（1）椭圆右准线l：x=
，过点P作PN⊥l于点N，
如图所示则由椭圆的第二定义知
=e=
，
于是|PN|=
|PF2|，所以|PM|+
|PF2|=|PM|+|PN|≥d（M，l），
其中d（M，l）表示点M到准线l的距离，
易求得：d（M，l）=
所以|PM|+
|PF2|的最小值为
（此时点P为过点M且垂直于l的线段与椭圆的交点）
（2）由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20，
故|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20
1?|PM|-|PF1|≤|MF1|=10，
故|PM|+|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段
的延长线与椭圆的交点时取“=”）；
2?|PF1|-|PM|≤|MF1|=10，
故|PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段
的反向延长线与椭圆的交点时取“=”）
综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为[10，30]．
解：（1）椭圆右准线l：x=| 50 |
| 3 |
如图所示则由椭圆的第二定义知
| |PF2| |
| |PN| |
| 3 |
| 5 |
于是|PN|=
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 3 |
其中d（M，l）表示点M到准线l的距离，
易求得：d（M，l）=
| 44 |
| 3 |
所以|PM|+
| 5 |
| 3 |
| 44 |
| 3 |
（2）由椭圆的定义知|PF2|+|PF1|=2a=20，
故|PM|+|PF2|=|PM|-|PF1|+20
1?|PM|-|PF1|≤|MF1|=10，
故|PM|+|PF2|≤30（当且仅当P为有向线段
| MF1 |
2?|PF1|-|PM|≤|MF1|=10，
故|PM|+|PF2|=20-（|PF1|-|PM|）≥10（当且仅当P为有向线段
| MF1 |
综上可知，|PM|+|PF2|的取值范围为[10，30]．
点评：本题考查椭圆的方程、定义和性质，注意运用椭圆的两个定义，以及两点之间线段最短，考查运算能力，属于中档题和易错题．
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+
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