Question

若0＜a₁＜a₂，0＜b₁＜b₂，且a₁+a₂=b₁+b₂=1，则下列代数式：
①a₁b₁+a₂b₂ ②a₁a₂+b₁b₂ ③a₁b₂+a₂b₁
其中值最大的是

①

（填上正确的番号）．

Answer 1

分析：由于0＜a₁＜a₂，0＜b₁＜b₂，且a₁+a₂=b₁+b₂=1，可得0＜a1＜

1

2

＜a2＜1，0＜b1＜

1

2

＜b2＜1．
令a1=

1

2

-s，b1=

1

2

-t，则a2=

1

2

+s，b2=

1

2

+t，其中0＜s＜

1

2

，0＜t＜

1

2

．
可得a₁b₁+a₂b₂=(

1

2

-s)(

1

2

-t)+(

1

2

+s)(

1

2

+t)=

1

2

+2st＞

1

2

．
由于a₁b₂+a₂b₁=a₁（1-b₁）+a₂（1-b₂）=1-（a₁b₁+a₂b₂）．可得a1b2+a2b1＜

1

2

．
利用基本不等式可得a₁a₂+b₁b₂＜(

a1+a2

2

)2+(

b1+b2

2

)2=

1

2

．即可得出最大值．

解答：解：∵0＜a₁＜a₂，0＜b₁＜b₂，且a₁+a₂=b₁+b₂=1，
∴0＜a1＜

1

2

＜a2＜1，0＜b1＜

1

2

＜b2＜1．
令a1=

1

2

-s，b1=

1

2

-t，则a2=

1

2

+s，b2=

1

2

+t，其中0＜s＜

1

2

，0＜t＜

1

2

．
∴a₁b₁+a₂b₂=(

1

2

-s)(

1

2

-t)+(

1

2

+s)(

1

2

+t)=

1

2

+2st＞

1

2

．
∵a₁b₂+a₂b₁=a₁（1-b₁）+a₂（1-b₂）=1-（a₁b₁+a₂b₂）．
∴a1b2+a2b1＜

1

2

．
又a₁a₂+b₁b₂＜(

a1+a2

2

)2+(

b1+b2

2

)2=

1

2

．
∴a₁b₁+a₂b₂最大．
故答案为①．

点评：熟练掌握基本不等式的性质和不等式的基本性质是解题的关键．