已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点.极轴为x轴的正半轴.建立平面直角坐标系.直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$．(1)若直线l与曲线C相交于A.B两点.且|AB|=2$\sqrt{3}$.试求实数m的值,为曲线上任意一点.求x+2y-2的取值� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数）．
（1）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|=2$\sqrt{3}$，试求实数m的值；
（2）设M（x，y）为曲线上任意一点，求x+2y-2的取值范围．

分析（1）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数），消去参数t可得普通方程．利用点到直线的距离公式可得：圆心到直线l的距离d=$\frac{|2-m|}{\sqrt{2}}$．及其弦长公式l=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可解得m．
（2）设x+2y-2=t，即x+2y-2-t=0，由于直线与圆有公共点可得$\frac{|2-2-t|}{\sqrt{5}}$≤2，解出即可得出．

解答解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，
化为直角坐标方程：x²+y²=4x，可得（x-2）²+y²=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．
直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=m+t}\\{y=t}\end{array}\right.$（t是参数），可得普通方程x-y-m=0．
∴圆心到直线l的距离d=$\frac{|2-m|}{\sqrt{2}}$．
∴$2\sqrt{3}$=2$\sqrt{4-（\frac{2-m}{\sqrt{2}}）^{2}}$，化为：$\frac{m-2}{\sqrt{2}}$=±1，解得m=2$±\sqrt{2}$．
（2）设x+2y-2=t，即x+2y-2-t=0，
则$\frac{|2-2-t|}{\sqrt{5}}$≤2，
解得$-2\sqrt{5}$≤t≤2$\sqrt{5}$．
∴x+2y-2的取值范围是$[-2\sqrt{5}，2\sqrt{5}]$．

点评本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案

16．

如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，O，D，E分别是棱AB，A₁B₁，AA₁的中点，点F在棱AB上，且AF=$\frac{1}{4}$AB，AB=BC=CA=AA₁，且侧棱AA₁⊥平面ABC．
（1）求证：EF∥平面BCD；
（2）求二面角C-BC₁-D的余弦值．

13．设函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-b）x．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为8x-2y-3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+1，x₁，x₂是f（x）的两个极值点，证明：f（x₁）+f（x₂）＜8ln2-12．

20．直线$\left\{{\begin{array}{l}{x=2+2t}\\{y=-t}\end{array}}\right.$（t为参数）被曲线ρ=4cosθ所截的弦长为（　　）

A．

B．

$\frac{{8\sqrt{5}}}{5}$

C．

$\frac{{16\sqrt{5}}}{5}$

D．

10．已知α为第二象限角，sinα=$\frac{3}{5}$，则tan2α=$-\frac{24}{7}$．

17．在平面直角坐标系xOy中有不共线三点P（a₁，b₁），A（a₂，b₂），B（a₃，b₃）．实数λ，μ满足λ+μ=λμ≠0，则以P为起点的向量$λ\overrightarrow{PA}$，$μ\overrightarrow{PB}$的终点连线一定过点（　　）

	A．	（a₂+a₃-a₁，b₂+b₃-b₁）		B．	（b₂+b₃-b₁，a₂+a₃-a₁）
	C．	（a₂+a₃-2a₁，b₂+b₃-2b₁）		D．	（b₂+b₃-2b₁，a₂+a₃-2a₁）

14．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C₁：（x-3）²+（y-2）²=1，曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），曲线C₃：ρ（cosθ-2sinθ）=7．
（1）以t为参数将C₁的方程写成含t的参数方程，化C₂的方程为普通方程，化C₃的方程为直角坐标方程；
（2）若Q为C₂上的动点，求点Q到曲线C₃的距离的最大值．

15．已知函数f（x）=ax⁴•lnx+bx⁴-c在x=1处取得极值-3-c．
（1）试求实数a，b的值；
（2）试求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥-2c²恒成立，求实数c的取值范围．

试题分类