题目内容
10．在[0，1]上随机取一个数k，则事件“直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为$\frac{1}{e}$．分析 令kx=lnx，则k=$\frac{lnx}{x}$，记f（x）=$\frac{lnx}{x}$，根据函数的单调性求出k的范围，根据几何概型求出名字条件的概率即可．
解答 解：由题意，令kx=lnx，则k=$\frac{lnx}{x}$，
记f（x）=$\frac{lnx}{x}$，f'（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
f'（x）在（0，e）上为正，在（e，+∞）上为负，
故f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
f（x）的在最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，
故0≤k＜$\frac{1}{e}$，
由$\frac{\frac{1}{e}-0}{1-0}$=$\frac{1}{e}$，
得直线y=kx与函数y=lnx的图象有2个公共点”发生的概率为$\frac{1}{e}$，
故答案为：$\frac{1}{e}$．
点评 本题考查了几何概型问题，考查函数的单调性问题以及转化思想，是一道中档题．
练习册系列答案
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18．
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某程序框图如图所示，其中$g（x）=\frac{1}{{{x^2}+x}}$，若输出的$S=\frac{2016}{2017}$，则判断框内应填入的条件为（ ）| A． | n＜2017 | B． | n≤2017 | C． | n＞2017 | D． | n≥2017 |
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| A． | $\frac{8}{9}$ | B． | $-\frac{8}{9}$ | C． | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | D． | $-\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ |
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| A． | $（{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$ | B． | $[{\frac{1}{2}，\sqrt{e}}）$ | C． | $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}]$ | D． | $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{e}}}{e}}）$ |
19．已知实数a，b，c满足 ${（\frac{1}{3}）^x}=2，{log_3}b=\frac{1}{2}，{c^{-3}}=2$，则实数a，b，c的大小关系为（ ）
| A． | a＜b＜c | B． | a＜c＜b | C． | b＜c＜a | D． | b＜a＜c |