Question

已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为A的正方体．
（1）求点D到平面CB₁D₁的距离．
（2）求直线C₁B₁与平面CB₁D₁所成的角．

Answer 1

分析：（1）根据几何体的结构特征可得：点D到平面CB₁D₁的距离等于C₁到平面CB₁D₁的距离，再结合

VC1-D1B1C=VD1-B1C1C，

进而求出答案．
（2）设C₁在平面CB₁D₁内射影为O，连接B₁O，则∠C₁B₁O即为直线C₁B₁与平面CB₁D₁所成的角，再根据三角形的性质可得B₁O=

3

3

×

2

a=

6

3

a，进而求出线面角的余弦值．

解答：解：（1）根据几何体的结构特征可得：点D到平面CB₁D₁的距离等于C₁到平面CB₁D₁的距离，
因为

VC1-D1B1C=VD1-B1C1C，

所以

1

3

×

3

2

a2×h=

1

3

×

1

2

a2×a
所以h=

3

3

a------（5分）
所以点D到平面CB₁D₁的距离为

3

3

a．
（2）设C₁在平面CB₁D₁内射影为O，连接B₁O，
则∠C₁B₁O即为直线C₁B₁与平面CB₁D₁所成的角．
因为△CB₁D₁的是边长为

2

a的等边三角形，
所以B₁O=

3

3

×

2

a=

6

3

a，
所以cos∠C1B1O=

3 3 a

6 3 a

=

2

2

所以直线C₁B₁与平面CB₁D₁所成的角为45°．------（10分）

点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系以及点到平面的距离，考查计算能力，是基础题．