Question

15．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2．
（Ⅰ） 若点M的直角坐标为（2，$\sqrt{3}$），直线l与曲线C交于A、B两点，求|MA|+|MB|的值；
（Ⅱ）设曲线C经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x^/}=\sqrt{3}x\\{y^/}=y\end{array}$得到曲线C′，求曲线C′的内接矩形周长的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得曲线C的直角坐标方程，把直线l代入圆的直角坐标方程，化简后利用韦达定理可求t₁+t₂，t₁t₂的值，由|MA|+|MB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可求得|MA|+|MB|的值；
（Ⅱ）设矩形的顶点坐标为（x′，y′），则根据x′，y′的关系消元得出P关于x（或y）的函数，利用导数，求出此函数的最大值．

解答 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ=2，则曲线C的直角坐标方程为：x²+y²=4，
直线l：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$，转化成普通方程为：y-$\sqrt{3}$x+$\sqrt{3}$=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x²+y²=4，
整理得：t²+5t+3=0，
∴t₁+t₂=-5，t₁•t₂=3，
|MA|+|MB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{13}$，
（Ⅱ）$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}x′}\\{y=y′}\end{array}\right.$代入曲线C的方程得：$\frac{x{′}^{2}}{12}+\frac{y{′}^{2}}{3}=1$，
设曲线C′的内接矩形周长为P，曲线C′的内接矩形的第一象限内的顶点为N（x′，y′）（0＜x＜2$\sqrt{3}$，0＜y＜2），
x′²+3y′²=3，x′=$\sqrt{12-3y{′}^{2}}$，
P=4x′+4y′=4$\sqrt{12-3y{′}^{2}}$，+4y′，
令f（y）=4$\sqrt{12-3y{′}^{2}}$，+4y′，
f′（y）=$\frac{-12y′}{\sqrt{12-3y{′}^{2}}}$+4，
令f′（y′）=0得y=1，
当0＜y′＜1时，f′（y′）＞0，当1＜y＜1时，f′（y′）＜0．
∴当y′=1时，f（y′）取得最大值16．
曲线C′的内接矩形周长的最大值16．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程、弦长公式，利用导数求函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．．