Question

如图,五面体ABCDEF中,点O是矩形ABCD的对角线的交点,△ABF是等边三角形,棱EF∥BC,且EF=BC.

(1)证明:EO∥平面ABF.

(2)若EF=EO,证明:平面EFO⊥平面ABE.

Answer 1

【证明】(1)取AB的中点M,连接FM,OM.

因为O为矩形ABCD的对角线的交点,

所以OM∥BC,

且OM=BC,又EF∥BC,且EF=BC,

所以OM=EF,且OM∥EF,

所以四边形EFMO为平行四边形,所以EO∥FM.

又因为FM⊂平面ABF,EO⊄平面ABF,

所以EO∥平面ABF.

(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形,

又因为EF=EO,所以四边形EFMO为菱形,连接EM,则有FO⊥EM,

又因为△ABF是等边三角形,且M为AB中点,

所以FM⊥AB,易知MO⊥AB,

所以AB⊥平面EFMO,所以AB⊥FO.

因为AB∩EM=M,所以FO⊥平面ABE.

又因为FO⊂平面EFO,

所以平面EFO⊥平面ABE.