Question

下图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得,其中AB=4,BC=1,BE=3,CF=4,若如图所示建立空间直角坐标系:

(1)求和点G的坐标;

(2)求异面直线EF与AD所成的角;

(3)求点C到截面AEFG的距离.

Answer 1

(1)解析：由题图可知A(1,0,0)、B(1,4,0)、E(1,4,3)、F(0,4,4).??

∴=(-1,0,1).?

又∵=,设G(0,0,z).?

则(-1,0,z)=(-1,0,1),∴z=1,即G(0,0,1).?

(2)解法一:∵AD∥BC,作EH∥BC且交CF于H点，则∠FEH为所求角,?

∵FH=4-3=1,EH=BC=1,?

∴∠FEH=45°,即所求角为45°.?

解法二:∵=(-1,0,0), =(-1,0,1).?

∴cos〈,〉=,?

∴AD和EF所成的角为45°.?

(3)解析：设n⊥面AEFG,n=(x₀,y₀,z₀),∵n⊥,n⊥,?

而=(-1,0,1),=(0,4,3),?

∴?

∴n=(z₀,-z₀,z₀).?

取z₀=4,则n₀=(4,-3,4),?

∵=(0,0,4),?

∴d=?

=.?

∴d=.