题目内容
5．数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2Sn+n2-n+1（n≥1）．（1）求证：数列{an+n-$\frac{1}{2}$}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
分析 （1）由已知条件条件推导出数列数列{an+n-$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项，以3为公比的比数列，
（2）根据等比数列的通项公式即可求出．
解答 证明（1）∵an+1=2Sn+n2-n+1（n≥1），
∴an=2Sn-1+（n-1）2-（n-1）+1，
∴an+1-an=2an+2n-2，
∴an+1+n+1-$\frac{1}{2}$=3（an+n-$\frac{1}{2}$），
∵a1=1，
∴a1+1-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴数列{an+n-$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项，以3为公比的比数列，
（2）由（1）可知，an+n-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$•3n-1，
∴an=$\frac{{3}^{n}}{2}$-n+$\frac{1}{2}$．
点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用，属于中档题．
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