Question

6．设函数f（x）=$\sqrt{|x+1|+|x-1|-m}$．
（1）当m=4时，求函数f（x）的定义域M；
（2）当a，b∈∁_RM时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．

Answer 1

分析 （1）由题意和二次根式的被开方数非负，可得|x+1|+|x-1|≥4，运用绝对值的意义和对x讨论，解不等式即可得到所求定义域；
（2）可得-2＜a，b＜2，要证2|a+b|＜|4+ab|，可证4（a+b）²＜（4+ab）²，作差4（a+b）²-（4+ab）²，运用平方差和因式分解，即可得证．

解答 解：（1）当m=4时，由|x+1|+|x-1|≥4，
 等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x-1-x+1≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+1+x-1≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{x+1+1-x≥4}\end{array}\right.$，
解得x≤-2或x≥2或x∈∅．
则不等式的解集为M={x|x≤-2或x≥2}；
（2）证明：当a，b∈C_RM时，即-2＜a，b＜2，
所以4（a+b）²-（4+ab）²=4（a²+2ab+b²）-（16+8ab+a²b²）
=4a²+4b²-16-a²b²=（a²-4）（4-b²）＜0，所以4（a+b）²＜（4+ab）²，
即2|a+b|＜|4+ab|．

点评 本题考查函数的定义域的求法，注意运用绝对值的意义，以及分类讨论的思想方法，考查不等式的证明，注意运用作差法，考查推理能力和运算能力，属于中档题．