Question

5．欧拉在1748年给出了著名公式e^iθ=cosθ+isinθ（欧拉公式）是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e=2.71828…，根据欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ，任何一个复数z=r（cosθ+isinθ），都可以表示成z=re^iθ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z₁=2e${\;}^{i\frac{π}{3}}$，z₂=2e${\;}^{i\frac{π}{2}}$，则复数z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在复平面内对应的点在（　　）

• A． 第一象限
• B． 第二象限
• C． 第三象限
• D． 第四象限

Answer 1

分析 由欧拉公式求出z₁=1+$\sqrt{3}$i，z₂=2i，再由复数代数形式的乘除运算法则求出z，由此能求出复数z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在复平面内对应的点所在的第四象限．

解答 解：∵e^iθ=cosθ+isinθ，
∴z₁=2e${\;}^{i\frac{π}{3}}$=2（cos$\frac{π}{3}$+isin$\frac{π}{3}$）=2（$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$）=1+$\sqrt{3}$i，
z₂=2e${\;}^{i\frac{π}{2}}$=2（cos$\frac{π}{2}$+isin$\frac{π}{2}$）=2（0+i）=2i，
∴z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{2i}$=$\frac{i+\sqrt{3}{i}^{2}}{2{i}^{2}}$=$\frac{i-\sqrt{3}}{-2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}i$，
∴复数z=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$在复平面内对应的点（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）在第四象限．
故选：D．

点评 本题考查复数在复平面内对应的点所在象限的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．