Question

（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足：①时，；②③对任意的正实数，都有；

（1）求证：；

（2）求证：在定义域内为减函数；

（3）求不等式的解集．

 

Answer 1

（3）

【解析】

试题分析：（1）因为互为倒数，可先求出，再利用可证

（2）构造函数中两个任意变量的函数值差，结合函数表达式得到函数单调性的证明．

（3）结合特殊值的函数值，得到,由（2）为减函数进而得到函数的不等式的求解．

试题解析：因为对任意正实数有

所以 2分

（1）所以, 所以 5分

（2）设,且则，

又由（1）知

8分

（3） 因为

在上为减函数，所以上面不等式等价于

得 12分

考点：1．抽象函数；2．函数的单调性的运用．