Question

19．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线y²-x²=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），准线方程为：x=-$\frac{p}{2}$，
准线方程与双曲线y²-x²=1联立可得：y²-（-$\frac{p}{2}$）²=1，
解得y=±$\sqrt{1+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
因为△ABF为等边三角形，所以$\sqrt{{y}^{2}+{p}^{2}}$=2|y|，即p²=3y²，
即p²=3（1+$\frac{{p}^{2}}{4}$），解得p=$2\sqrt{3}$．
故答案为：$2\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．