Question

8．已知函数f（x）=x³-3ax．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，求实数a；
（Ⅱ）若a=1，求函数f（x）在区间[0，3]的最值及所对应的x的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，利用在x=1处的切线斜率为2，列出方程即可求实数a；
（Ⅱ）通过a=1，求出函数的导数，判断函数的单调性以及函数的极值，然后求解函数的最值以及x的值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=x³-3ax
∴f′（x）=3x²-3a…（2分）
因为函数f（x）在x=1处的切线斜率为2，
∴f′（1）=3-3a=2，
∴a=$\frac{1}{3}$…（4分）．
（Ⅱ）由a=1，得：函数f（x）=x³-3x…（5分）
则：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
令f′（x）=0，则x=1或x=-1…（8分）

x	0	（0，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		-	0	+
f（x）	0	单调递减	极小值-2	单调递增	18

…（10分）
故：当x=1时，f（x）_min=f（1）=-2；…（12分）
当x=3时，f（x）_max=f（3）=18．…（14分）

点评 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，考查计算能力．