Question

已知函数f（x）=cos²x+1，g（x）=sinx
（1）求h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

，x∈（0，

π

6

）的值域
（2）若x∈[0，

π

2

]时，h（x）=f（x）-2m²g（x）的最小值为

1

2

，求实数m的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（1）表示出h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

，利用正弦函数的值域，结合二次函数求解x∈（0，

π

6

）的值域
（2）若x∈[0，

π

2

]时，化简h（x）=f（x）-2m²g（x）的表达式，通过函数的最小值为

1

2

，即可求实数m的值．

解答： 解：（1）h（x）=

g(x)-1

f(x)-2

=

sinx-1

cos2x-1

=

sinx-1

-sin2x

=-

1

sinx

+(

1

sinx

)2…（3分）
设t=

1

sinx

，∵sinx∈(0，

1

2

)∴t∈(2，+∞)…（4分）．
h（t）=t²-t在（2，+∞）为递增函数，
故h（t）＞2²-2=2…（6分）
所以h（x）的值域为（2，+∞）…（8分）
（2）I（x）=cos²x+1-2m²sinx
=-sin²x-2m²sinx+2
=-（sinx+m²）²+m⁴+2 …（10分）
又x∈[0，

π

2

]则sinx∈[0，1]
当0≤m2＜

1

2

时，I（x）的最小值I(

π

2

)=-(1+m2)2+m4+2=

1

2

．
∴m2=

1

4

，∴m=±

1

2

…（12分）
当m2≥

1

2

时，I（x）的最小值f(0)=-(0+m2)2+m4+2=

1

2

．∴m无解
综上，m=±

1

2

…（14分）

点评：本题看三角函数的化简求值函数的最值的求法，考查计算能力．