Question

6．已知函数f（x）=$\frac{x+1}{x-1}$（x≠1）
（1）证明f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）令g（x）=lnf（x），判断g（x）=lnf（x）的奇偶性并加以证明．

Answer 1

分析 （1）分离常数得到$f（x）=1+\frac{2}{x-1}$，根据减函数的定义，设任意的x₁＞x₂＞1，然后作差，通分，证明f（x₁）＜f（x₂）即得出f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）先求出$g（x）=ln\frac{x+1}{x-1}$，然后求g（x）的定义域，并根据对数的运算求出g（-x）=-g（x），这样便得出g（x）为奇函数．

解答 解：（1）证明：$f（x）=1+\frac{2}{x-1}$，设x₁＞x₂＞1，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{x}_{1}-1}-\frac{2}{{x}_{2}-1}$
=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$；
∵x₁＞x₂＞1；
∴x₂-x₁＜0，x₁-1＞0，x₂-1＞0；
∴$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；
（2）$lnf（x）=ln\frac{x+1}{x-1}$；
∴$g（x）=ln\frac{x+1}{x-1}$；
解$\frac{x+1}{x-1}＞0$得，x＜-1，或x＞1；
$g（-x）=ln\frac{-x+1}{-x-1}=ln\frac{x-1}{x+1}=-ln\frac{x+1}{x-1}=-g（x）$；
∴g（x）为奇函数．

点评 考查分离常数法的运用，减函数的定义，根据减函数定义证明一个函数为减函数的方法和过程，函数奇偶性的定义，以及判断函数奇偶性的方法．