Question

20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
（1）求角A的大小；
（2）若a=6，△ABC的面积是9$\sqrt{3}$，求三角形边b，c的长．

Answer 1

分析 （1）运用正弦定理和同角的商数关系，由特殊角的三角函数值可得A；
（2）运用三角形的面积公式和余弦定理，解方程即可得到所求b，c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，$\sqrt{3}$bcosA=asinB．
由正弦定理得$\sqrt{3}sinBcosA=sinAsinB$，
∴$tanA=\sqrt{3}$，又0＜A＜π，
∴$A=\frac{π}{3}$．
（2）由S△ABC=9$\sqrt{3}$，得$\frac{1}{2}$bcsin$\frac{π}{3}$=9$\sqrt{3}$，即为bc=36，
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$，
即36=（b+c）²-3bc=（b+c）²-108，
解得b+c=12，
由$\left\{\begin{array}{l}bc=36\\ b+c=12\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}b=6\\ c=6\end{array}\right.$，
∴三角形边b，c的长都为6．

点评 本题考查三角形的正弦定理和余弦定理、面积公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．