Question

4．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，（x≤\frac{1}{2}）}\\{2-2x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，则函数$\underset{\underbrace{f（f（…f（x）…））}}{2015}$在[0，1]上的图象总长（　　）

• A． 8060
• B． 4030
• C． 2015$\sqrt{5}$
• D． $\sqrt{{2^{4030}}+1}$

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，（x≤\frac{1}{2}）}\\{2-2x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，分段讨论，求出函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上各段的解析式，画出函数的图象，进而可得求出函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象总长，同法，类比可得函数$\underset{\underbrace{f（f（…f（x）…））}}{2015}$在[0，1]上的图象总长．

解答 解：先求出函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象总长．
∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，（x≤\frac{1}{2}）}\\{2-2x，（x＞\frac{1}{2}）}\end{array}\right.$，
当x∈[0，$\frac{1}{4}$]时，f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，g（x）=f（f（x））=2×2x=4x，
当x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]时，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1]，g（x）=f（f（x））=2-2×2x=2-4x，
当x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）时，f（x）∈（$\frac{1}{2}$，1），g（x）=f（f（x））=2-2×（2-2x）=4x-2，
当x∈[$\frac{3}{4}$，1]时，f（x）∈[0，$\frac{1}{2}$]，g（x）=f（f（x））=2×（2-2x）=4-4x，
故函数g（x）=f（f（x））在[0，1]上的图象如图所示：

其长度为：4$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{4}+1}$，
同法，类比可得函数$\underset{\underbrace{f（f（…f（x）…））}}{2015}$在[0，1]上的图象总长为$\sqrt{{2}^{4030}+1}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，分段函数分段处理，是解答分段函数的基本思路，也是分类讨论思想最好的印证．