Question

14．已知a＞0，b＞0，c＞0，若函数f（x）=|x+a|+|x-b|+c的最小值为2．
（1）求a+b+c的值；
（2）求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）运用绝对值不等式的性质，注意等号成立的条件，即可求得最小值；
（2）根据a+b+c=2得到$\frac{a+b+c}{2}$=1，从而得到$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$=$\frac{a+b+c}{2a}$$+\frac{a+b+c}{2b}$+$\frac{a+b+c}{2c}$，根据级别不等式的性质求出最小值即可．

解答 解：（1）因为f（x）=|x+a|+|x-b|+c≥|（x+a）-（x-b）|+c=|a+b|+c，
当且仅当-a≤x≤b时，等号成立，
又a＞0，b＞0，所以|a+b|=a+b，
所以f（x）的最小值为a+b+c，
所以a+b+c=2；
（2）由（1）知a+b+c=2，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$
=$\frac{a+b+c}{2a}$$+\frac{a+b+c}{2b}$+$\frac{a+b+c}{2c}$
=$\frac{1}{2}$$+\frac{b}{2a}$+$\frac{c}{2a}$+$\frac{a}{2b}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{c}{2b}$+$\frac{a}{2c}$+$\frac{b}{2c}$+$\frac{1}{2}$
≥2$\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{a}{2b}}$+2$\sqrt{\frac{c}{2a}•\frac{a}{2c}}$+2$\sqrt{\frac{c}{2b}•\frac{b}{2c}}$+$\frac{3}{2}$
=1+1+1+$\frac{3}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的最小值是$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查绝对值不等式、基本不等式的性质，是一道中档题．