Question

7．设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 设F（-c，0），由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求得a=$\sqrt{3}$c，由椭圆的通经公式可知：$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由b²=a²-c²，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．

解答 解：设F（-c，0），由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\sqrt{3}$c，
过点F且与x轴垂直的直线为x=-c，
代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得：y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，由b²=a²-c²，
即$\frac{2（{a}^{2}-{c}^{2}）}{a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得：a=$\sqrt{3}$，
∴c=1，b=$\sqrt{2}$，

∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程的求法及简单几何性质，考查椭圆的通经公式，考查计算能力，属于中档题．