Question

7．在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（2，0），$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，则四边形ABCD的面积是（　　）

• A． $2\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 根据题意，先判断四边形ABCD是平行四边形，再判断平行四边形ABCD是菱形，求出它的面积即可．

解答 解：在四边形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{DC}$=（2，0），
∴四边形ABCD是平行四边形；
又∵$\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}$+$\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\overrightarrow{BD}}{|\overrightarrow{BD}|}$，
∴平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC，
四边形ABCD是菱形，其边长为2，对角线BD等于2，
∴cos∠ABC=cos120°=-$\frac{1}{2}$，如图所示；
∴sin∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
S_ABCD=2×$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{BA}$|•|$\overrightarrow{BC}$|•sin∠ABC=2×$\frac{1}{2}$×2×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应先判断四边形的形状，考查四边形面积的求法，属于中档题．