题目内容
在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过二分钟后，该物体位于R点，且∠QOR=60°，则tan2∠OPQ的值等于（ ）
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
| D、以上均不正确 |
分析：由题意可设PQ=x，则QR=2x，∠POQ=90°，∠QOR=60°∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，△OPQ中分别利用正弦定理
=
表示OQ=
=
sinR=
sin(30°-∠OPQ)
OQ=
•sin∠OPQ=xsin∠OPQ从而∴
sin(30°-∠OPQ)=xsin∠OPQ，整理可求
在△ORQ中，△OPQ中分别利用正弦定理
| OQ |
| sinR |
| QR |
| sin60° |
| 2x•sinR |
| sin60° |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
OQ=
| OP |
| sin90° |
4
| ||
| 3 |
解答：解：如下图所示，物体位于点P，一分钟后，其位置在Q点，再过二分钟后，该物体位于R点
∴设PQ=x，则QR=2x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°
∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，由正弦定理得
=
OQ=
=
sinR=
sin(30°-∠OPQ)
在△OPQ中，由正弦定理得OQ=
•sin∠OPQ=xsin∠OPQ
∴
sin(30°-∠OPQ)=xsin∠OPQ
整理可得，tan∠OPQ=
tan2∠OPQ=
故选C
∴设PQ=x，则QR=2x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=60°
∠OPQ+∠R=30°，即∠R=30°-∠OPQ
在△ORQ中，由正弦定理得
| OQ |
| sinR |
| QR |
| sin60° |
OQ=
| 2x•sinR |
| sin60° |
4
| ||
| 3 |
4
| ||
| 3 |
在△OPQ中，由正弦定理得OQ=
| OP |
| sin90° |
∴
4
| ||
| 3 |
整理可得，tan∠OPQ=
2
| ||
| 9 |
tan2∠OPQ=
| 4 |
| 27 |
故选C
点评：本题主要考查了利用正弦定理解决实际问题，求解实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行求解．
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