Question

如图，在四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2，BC=CD=1，顶角D₁在底面ABCD内的射影恰好为点C．
（1）求证：AD₁⊥BC；
（2）若直线DD₁与直线AB所成角为

π

3

，求平面ABC₁D₁与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值函数值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的性质,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明：连接D₁C，证明BC⊥平面AD₁C，利用直线与平面垂直的性质定理证明AD₁⊥BC．
（Ⅱ）解法一：连接D₁M，则D₁M⊥AB，说明∠D₁MC为平面ABC₁D₁与平面ABCD所成角的一个平面角，在Rt△D₁CM中，求出cos∠D1CM=

5

5

，得到平面ABC₁D₁与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为

5

5

．
解法二：
由（Ⅰ）知AC、BC、D₁C两俩垂直，建立如图空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABC₁D₁的一个法向量，平面ABCD的法向量．通过向量的数量积求解平面ABC₁D₁和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连接D₁C，则D₁C⊥平面ABCD，
∴D₁C⊥BC
在等腰梯形ABCD中，连接AC
∵AB=2，BC=CD=1，AB∥CD
∴BC⊥AC
∴BC⊥平面AD₁C
∴AD₁⊥BC…（6分）
（Ⅱ）解法一：
∵AB∥CD∴∠D1DC=

π

3

∵CD=1∴D1C=

3

在底面ABCD中作CM⊥AB，连接D₁M，则D₁M⊥AB，所以∠D₁MC为平面ABC₁D₁与平面ABCD所成角的一个平面角
在Rt△D₁CM中，CM=

3

2

，D1C=

3

∴D1M=

CM2+D1C2

=

15

2

∴cos∠D1CM=

5

5

即平面ABC₁D₁与平面ABCD所成角（锐角）的余弦函数值为

5

5

…（12分）
解法二：
由（Ⅰ）知AC、BC、D₁C两俩垂直，
∵AB∥CD∴∠D1DC=

π

3

∴D1C=

3

在等腰梯形ABCD中，连接AC因AB=2，BC=CD=1AB∥CD，
所以AC=

3

，建立如图空间直角坐标系，
则A(

3

，0，0)，B（0，1，0），D1(0，0，

3

)
设平面ABC₁D₁的一个法向量

n

=(x，y，z)

由

n • AB =0 n • AD1 =0

得

y- 3 x=0 z-x=0

可得平面ABC₁D₁的一个法向量

n

=(1，

3

，1)．
又

CD1

=(0，0，

3

)为平面ABCD的一个法向量．
因此cos＜

CD1

，

n

＞=

CD1 • n

| CD1 || n |

=

5

5

所以平面ABC₁D₁和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的性质定理的应用，向量法求解二面角的方法，考查空间想象能力以及计算能力．