Question

6．设函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$
（Ⅰ）若f（a）=-$\frac{1}{3}$，求实数a的值；
（Ⅱ）求证：$f（{\frac{1}{x}}）+f（x）=0$（x≠0且x≠-1）；
（Ⅲ）求$f（\frac{1}{2014}）+f（\frac{1}{2013}）+…+f（\frac{1}{2}）+f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）列出方程求解即可．
（Ⅱ）直接利用函数的解析式求解即可．
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结果就是求解即可．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=$\frac{1-x}{1+x}$，f（a）=-$\frac{1}{3}$，
可得$\frac{1-a}{1+a}=-\frac{1}{3}$，解得a=2；
（Ⅱ）证明：$f（\frac{1}{x}）+f（x）$=$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}+\frac{1-x}{1+x}$=$\frac{x-1}{1+x}+\frac{1-x}{1+x}$=0．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：$f（\frac{1}{2014}）+f（\frac{1}{2013}）+…+f（\frac{1}{2}）+f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2014）$
=f（1）=0．

点评 本题考查函数解析式的应用，函数值的求法，考查计算能力．