Question

4．已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+F=0的圆心在第二象限，半径为$\sqrt{2}$，且圆C与直线3x+4y=0及y轴都相切．
（1）求D、E、F；
（2）若直线x-y+2$\sqrt{2}$=0与圆C交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）先求出圆C的标准式为：（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$，圆心为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），利用点到直线距离求出各参数即可；
（2）利用圆心与弦交点的三角形与点到直线距离来求弦长．

解答 解：（1）圆C的标准式为：（x+$\frac{D}{2}$）²+（y+$\frac{E}{2}$）²=$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$，圆心为（-$\frac{D}{2}$，-$\frac{E}{2}$），
因为圆C与y轴相切，即-$\frac{D}{2}$=-$\sqrt{2}$⇒D=2$\sqrt{2}$；
圆C与3x+4y=0相切，即d=$\frac{|3×（-\sqrt{2}）+4×（-\frac{E}{2}）|}{5}$=$\sqrt{2}$⇒E=-4$\sqrt{2}$，
即圆心为（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），
$\frac{{D}^{2}+{E}^{2}-4F}{4}$=2⇒F=8，
综上：D=2$\sqrt{2}$，E=-4$\sqrt{2}$，F=8；
（2）由（1）知圆心（-$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$），R=$\sqrt{2}$，
由点到直线距离知d=$\frac{|-\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}$=1，
所以$\frac{|AB|}{2}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=1，
故|AB|=2．

点评 本题主要考查了圆的标准方程，圆与直线相切以及点到直线的距离等知识点，属基础题．