Question

15．某同学在画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象时，列表如下：

x		$\frac{2π}{3}$		$\frac{5π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2

（1）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将函数f（x）图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值M，最小值N，并求M-N的值．

Answer 1

分析 （1）由表知，$\frac{2π}{3}$ω+φ=$\frac{π}{2}$①，$\frac{5π}{6}$ω+φ=$\frac{3π}{2}$②，联立可求ω，φ，令x-$\frac{π}{6}$=0，π，2π可求相应的x；
（2）根据图象变换易求g（x），利用正弦函数的单调性可求得g（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值M，最小值N，即可解得M-N的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）将表中数据补全如下：

x	$\frac{π}{6}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{7π}{6}$	$\frac{5π}{6}$	$\frac{13π}{6}$
ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
Asin（ωx+φ）	0	2	0	-2	0

∵$\frac{T}{2}=\frac{5π}{3}-\frac{2π}{3}$=π，
∴T=2π，
∴ω=1，代入（$\frac{2π}{3}$，2）可得φ=-$\frac{π}{6}$，
∴函数的解析式为：y=2sin（x-$\frac{π}{6}$）…5分
（2）以题意可得g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）…7分
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{6}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴$-\frac{1}{2}≤$sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤g（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≤2，…10分
∴当x=$\frac{π}{3}$时，g（x）取得最大值M=2；当x=0时，g（x）取得最小值N=-1，
∴M-N=3．…12分

点评 本题考查“五点法”作y=Asin（ωx+φ）的图象及其图象变换、单调性，考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，属于中档题．