Question

2．已知椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于 A，B的一个动点，设k₁，k₂分别是直线 P A，P B的斜率．
（1）求k₁•k₂的值；
（2）若 M（1，1）是椭圆内一定点，过 M的直线l交椭圆于C，D两点，若$\overrightarrow{{O}{M}}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{{O}C}$+$\overrightarrow{{O}D}}$），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知得A（-2，0），B（2，0），设P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），θ∈（0，2π），且θ≠π，由此能求出k₁•k₂的值．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）+1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+8kx+4k²-8k+4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，A，B分别为其左右顶点，P是椭圆上异于 A，B的一个动点，
∴A（-2，0），B（2，0），设P（2cosθ，$\sqrt{3}sinθ$），θ∈（0，2π），且θ≠π，
∵设k₁，k₂分别是直线 P A，P B的斜率，
∴k₁•k₂=$\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ+2}•\frac{\sqrt{3}sinθ}{2cosθ-2}$=$\frac{3si{n}^{2}θ}{4co{s}^{2}θ-4}$=$\frac{3si{n}^{2}θ}{-4si{n}^{2}θ}$=-$\frac{3}{4}$．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，
把x=1代入椭圆$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1，得C（1，-$\frac{3}{2}$），D（1，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{OM}$=（1，0）≠$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{{O}C}$+$\overrightarrow{{O}D}}$）=（1，0），不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-1）+1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²-8k²x+8kx+4k²-8k+4=0，
∵过M的直线l交椭圆于C，D两点，∴△＞0，
设C（${{x}_{1}，{y}_{1}}^{\;}$），D（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}-8k}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}-8k+4}{3+4{k}^{2}}$，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-2k+2=$\frac{8{k}^{3}-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-2k+2，
∵$\overrightarrow{{O}{M}}$=$\frac{1}{2}$（${\overrightarrow{{O}C}$+$\overrightarrow{{O}D}}$），
∴（1，1）=$\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}，{y}_{1}+{y}_{2}）$=（$\frac{4{k}^{2}-4k}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{4{k}^{3}-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$-k+1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4{k}^{2}-4k}{3+4{k}^{2}}=1}\\{\frac{4{k}^{3}-4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}-k+1=1}\end{array}\right.$，
解得k=-$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为y=-$\frac{3}{4}$（x-1）+1，即3x+4y-4=0．

点评 本题考查两直线斜率乘积的求法，考查直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、根的判别式、韦达定理、向量知识，直线方程的合理运用．