Question

某校为规范学生的行为，制定出一套科学有效的“德语百分制量化考核制度”，一领导小组将该校高三年级1200个学生随机编号为1、2、…、1200，现将编号能被30整除的40名学生抽取出来进行座谈，并将他们的考核分分成六段：[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]，统计后得到如图的频率分布直方图：
（Ⅰ）此采样中，用到的是什么抽样方法？并求这40名学生考核分的众数的估计值；
（Ⅱ）在此样本中若从考核分在[75，85）的同学中任意抽取3人，求考核分在[75，80）和[80，85）内部都有学生的概率；
（Ⅲ）在此样本中若从考核分在[70，80）的同学中任意抽取4人，求考核分在[75，80）的学生人数X的数学期望．

Answer 1

考点：频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）根据采样的方法，符合系统抽样方法特征，根据频率分布直方图，得出这40名学生考核分的众数估计值；
（Ⅱ）考核分在[75，85）内的学生数，计算基本事件数，求出对应的概率；
（Ⅲ）计算在[70，80）内的同学数，求出X的可能取值以及对应的概率，计算数学期望即可．

解答： 解：（Ⅰ）此采样中，是按编号把能被30整除的40名学生抽取出来，是系统抽样方法；
又根据频率分布直方图，得；
∴得分在[85，90）对应的小长方形最高，
∴这40名学生考核分的众数估计值为

85+90

2

=87.5；
（Ⅱ）考核分在[75，80）内的同学有40×0.02×5=4，
在[80，85）内的同学有40×0.04×5=8人，
从这4+8=12人中任意抽取3人，基本事件数是

C

3 12

=220，
考核分在[75，80）和[80，85）内部都有学生的基本事件数是

C

1 4

•

C

2 8

+

C

2 4

•

C

1 8

=160，
∴对应的概率为P=

160

220

=

8

11

；
（Ⅲ）此样本中考核分在[70，75）内的学生有40×0.01×5=2人，
[75，80）内的学生有4人，
∴在[70，80）的同学中共有4+2=6人，任意抽取4人时，
考核分在[75，80）的学生人数X的可能取值为2、3、4；
且P（X=2）=

C 2 2 •C 2 4

C 4 6

=

2

5

，
P（X=3）=

C 1 2 •C 3 4

C 4 6

=

8

15

，
P（X=4）=

C 0 2 •C 4 4

C 4 6

=

1

15

；
∴X的数学期望为EX=2×

2

5

+3×

8

15

+4×

1

15

=2．

点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了抽样方法的判断以及离散型随机变量的期望的应用问题，是综合性题目．