Question

如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．    

Answer 1

 解：（1）设，

∵直线斜率为时，，∴，∴

∴，∵，∴．

∴椭圆的标准方程为．                           

（2）以为直径的圆过定点．

设，则，且，即，

∵，∴直线方程为： ，∴ ，

直线方程为： ，∴，         

以为直径的圆为

即，                            

∵，∴，

令，，解得，

∴过定点：．