Question

4．如图所示，在直三棱柱ABO-A′B′O′中，OO′=4，OA=4，OB=3，∠AOB=90°，D是线段A′B′的中点，P是侧棱BB′上的一点，若OP⊥BD，求OP与底面AOB所成角的正切值．

Answer 1

分析 以O点为原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{OP}$和$\overrightarrow{BD}$的坐标，利用OP⊥BD得出BP，从而得出tan∠POB的值．

解答 解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系
则B（3，0，0），D（$\frac{3}{2}$，2，4）．
设P（3，0，z），则$\overrightarrow{BD}$=（-$\frac{3}{2}$，2，4），$\overrightarrow{OP}$=（3，0，z）．
∵BD⊥OP，∴$\overrightarrow{BD}$•$\overrightarrow{OP}$=-$\frac{9}{2}$+4z=0，解得z=$\frac{9}{8}$，即BP=$\frac{9}{8}$．
∵BB′⊥平面AOB，
∴∠POB是OP与底面AOB所成的角．
∵tan∠POB=$\frac{BP}{OB}$=$\frac{3}{8}$，
∴OP与底面AOB所成角的正切值为$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了线面角的计算，空间向量在几何中的应用，属于中档题．