Question

8．已知曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；
（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），利用cos²α+sin²α=1可得直角坐标方程，．利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程．
（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d-r．

解答 解：（1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosα}\\{y=2+2sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
可得直角坐标方程：x²+（y-2）²=4，展开可得：x²+y²-4y=0，
可得极坐标方程：ρ²-4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．
直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数t可得普通方程：x-y-3=0．
（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d=$\frac{|-2-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴A，B两点间距离|AB|的最小值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$-2．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．