Question

2．设正项数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足${S_n}=\frac{1}{2}a_n^2+\frac{n}{2}（n∈{N^*}）$．
（1）计算a₁，a₂，a₃的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系式求解数列a₁，a₂，a₃的值，猜想{a_n}的通项公式；
（2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可．

解答 解：（1）当n=1时，${a_1}={S_1}=\frac{1}{2}a_1^2+\frac{1}{2}$，
得a₁=1；${a_1}+{a_2}={S_2}=\frac{1}{2}a_2^2+1$，得a₂=2，
${a_1}+{a_2}+{a_3}={S_3}=\frac{1}{2}a_3^2+\frac{3}{2}$，得a₃=3，
猜想a_n=n．
（2）证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立，
（ⅱ）假设当n=k时，a_k=k，
则当n=k+1时，${a_{k+1}}={S_{k+1}}-{S_k}=\frac{1}{2}a_{k+1}^2+\frac{k+1}{2}-（\frac{1}{2}a_k^2+\frac{k}{2}）$=$\frac{1}{2}a_{k+1}^2+\frac{k+1}{2}-（\frac{1}{2}{k^2}+\frac{k}{2}）$，
整理得：$a_{k+1}^2-2{a_{k+1}}-{k^2}+1=0$，即[a_k+1-（k+1）][a_k+1+（k-1）]=0，
结合a_n＞0，解得a_k+1=k+1，
于是对于一切的自然数n∈N^*，都有a_n=n．

点评 本题考查数列递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．