Question

数列的前n项和为,存在常数A,B,C,使得对任意正整数n都成立.

⑴若数列为等差数列,求证:3A B+C=0;

⑵若设数列的前n项和为,求;

⑶若C=0,是首项为1的等差数列,设数列的前2014项和为P,求不超过P的最大整数的值.

 

Answer 1

（1）详见解析，（2），（3）2014.

【解析】

试题分析：（1）研究特殊数列问题，一般从其特征量出发. 因为为等差数列,设公差为,由,得,根据恒等式对应项系数相等得：所以代入得：. （2）本题实质为求通项. 因为,所以,当时,, 所以即 即,而,所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以.由错位相减法得，（3）因为是首项为的等差数列,由⑴知,公差,所以.化简数列通项，再由裂项相消法得，所以不超过的最大整数为2014.

解 ⑴因为为等差数列,设公差为,由,

得, 2分

对任意正整数所以 4分

所以 . 6分

⑵ 因为,所以,

当时,,

所以即 即,而,

所以数列是首项为,公比为的等比数列,所以. 9分

于是.所以①,,②

得.

所以. 12分

⑶ 因为是首项为的等差数列,由⑴知,公差,所以.

而

, 14分

所以不超过的最大整数为2014. 16分

考点：求数列通项，错位相减法及裂项相消法求和