Question

9．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若x+2y＞a²+8a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 x+2y＞a²+8a恒成立，即a²+8a＜x+2y恒成立，只需求得x+2y的最小值即可．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴x+2y=（x+2y）（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）=2+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$+2≥8（当且仅当x=4，y=2时取到等号）．
∴（x+2y）_min=8．
∴x+2y＞a²+8a恒成立，即a²+8a＜（x+2y）_min=8，
解得：-4-2$\sqrt{6}$＜a＜-4+2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查基本不等式与函数恒成立问题，将问题转化为求x+2y的最小值是关键，考查学生分析转化与应用基本不等式的能力，属于中档题．