Question

20．某市2015年新建住房面积为500万m²．其中安置房面积为200万m²．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万m²．记2015年为第1年．
（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m²？
（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意得，所建安置房面积为等差数列，由等差数列的前n项和公式，得到答案．
（2）由题意得，新建住房面积是等比数列，两者做比，可得比例相等时的年份．

解答 解：（1）设安置房面积形成数列{a_n}，由题意可知{a_n}是等差数列，
其中a₁=200，d=50，
则S_n=200n+$\frac{n（n-1）}{2}$×50=25n²+175n，
令25n²+175n≥3000
即n²+7n-120≥0，
而n是正整数，∴n≥8．
∴该市8年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m²，
（2）设新建住房面积数列{b_n}，由题意可知{b_n}是等比数列，
其中b₁=500，q=1.1，
则b_n=500×1.1^n-1，
a_n=50n+150，
∴$\frac{50n+150}{500×1，{1}^{n-1}}$=$\frac{50n+200}{500×1．{1}^{n}}$，
∴1.1n+3.3=n+4，
∴n=7，
即存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变．

点评 本题考查等差数列的前n项和公式，等比数列和等差数列的通项公式．