题目内容
18．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE、DF、EF折起，使A、B、C三点重合于点A′．（1）求三棱锥A′-EFD的体积；
（2）求直线A′D与平面DEF所成角的正弦值．
分析 （1）根据A′D，A′E，A′F两两垂直可得A′E⊥平面A′DF，故而V棱锥A′-EFD=V棱锥E-A′DF=$\frac{1}{3}{S}_{△A′DF}•A′E$；
（2）过A′作A′O⊥平面DEF，连结DO，则∠A′DO为直线A′D与平面DEF所成的角，利用等体积法求出A′O，即可得出∠A′DO的正弦值．
解答 解：（1）∵A′E⊥A′D，A′E⊥A′F，A′D?平面A′DF，A′F?平面A′DF，
∴A′E⊥平面A′DF，
∵A′E=1，A′D=2，A′F=1，
∴V棱锥A′-EFD=V棱锥E-A′DF=$\frac{1}{3}{S}_{△A′DF}•A′E$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×1$=$\frac{1}{3}$．
（2）过A′作A′O⊥平面DEF，连结DO，则∠A′DO为直线A′D与平面DEF所成的角．
∵S△DEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△BEF-S△CDF=2×2-$\frac{1}{2}×1×2$-$\frac{1}{2}×1×1$-$\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{3}{2}$，
∴V棱锥A′-DEF=$\frac{1}{3}{S}_{△DEF}•A′O$=$\frac{1}{2}$A′O=$\frac{1}{3}$，
∴A′O=$\frac{2}{3}$，
∴sin∠A′DO=$\frac{A′O}{A′D}$=$\frac{1}{3}$．
点评 本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，线面角的计算，属于中档题．
练习册系列答案
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13．某程序流程图如图所示，依次输入函数f（x）=sin（x-$\frac{π}{6}$），f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），f（x）=tanx，f（x）=cos（2x-$\frac{π}{6}$），执行该程序，输出的数值p=（ ）
| A． | $\frac{1}{4}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{3}}{4}$ |
10．若a＜1，b＞1，那么下列命题中正确的是（ ）
| A． | $\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$ | B． | $\frac{b}{a}＞1$ | C． | a2＜b2 | D． | ab＜a+b-1 |
7．
直线y=kx（k＞0）与E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1交于A，B，C在x轴上，且AC⊥x轴，直线BC与E交于D，若AB⊥AD，则E的离心率为（ ）
直线y=kx（k＞0）与E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1交于A，B，C在x轴上，且AC⊥x轴，直线BC与E交于D，若AB⊥AD，则E的离心率为（ ）| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C． | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ |