Question

设函数f（x）=bsinx的图象在点A（

π

6

，f（

π

6

））处的切线与直线

3

x-2y+3=0平行，若a_n=n²+bn，则数列{

1

an

}的前2014项和S₂₀₁₄的值为（　　）

• A、

  2011

  2012

• B、

  2012

  2013

• C、

  2013

  2014

• D、

  2014

  2015

Answer 1

考点：数列的求和,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，求出b的值，然后利用裂项法即可求出数列的前n项和．

解答：解：∵f（x）=bsinx，
∴f′（x）=bcosx，
则f′（

π

6

）=bcos

π

6

=

3

2

b，
∵图象在点A（

π

6

，f（

π

6

））处的切线与直线

3

x-2y+3=0平行，
∴切线斜率k=

3

2

b=

3

2

，解得b=1．
∴a_n=n²+bn=a_n=n²+n=n（n+1），
则

1

an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴数列{

1

an

}的前2014项和S₂₀₁₄的值为1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2014

-

1

2015

=1-

1

2015

=

2014

2015

，
故选：D．，

点评：本题主要考查数列和的计算，根据导数的几何意义求出b=1是解决本题的关键，求出数列的通项公式，利用裂项法是解决本题的突破．