Question

2．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，E，F分别在AD，BC上，且AE=1，BF=3，沿EF将四边形AEFB折成四边形A′EFB′，使点B′在平面CDEF上的射影H在直线DE上，且EH=1．
（1）求证：A′D∥平面B′FC；
（2）求C到平面B′HF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明A′E∥B′F，即可证明B′F∥平面A′ED，然后证明CF∥平面A′ED，推出平面A′ED∥平面B′FC，然后证明A′D∥平面B′FC．
（2）求出B′H，求出S_△HFC，利用${V_{C-{B^'}HF}}={V_{{B^'}-HFC}}$求解即可．

解答 （1）证明：∵AE∥BF，∴A′E∥B′F，又A′E?平面A′ED，B′F?平面A′ED
∴B′F∥平面A′ED
同理又CF∥ED，CF∥平面A′ED
且B′F∩CF=F，∴平面A′ED∥平面B′FC
又A′D?平面A′ED，∴A′D∥平面B′FC
（2）解：由题可知，${B^'}E=\sqrt{5}$，EH=1，∵B′H⊥底面EFCD，
∴${B^'}H=\sqrt{{B^'}{E^2}-E{H^2}}=2$，
又B′F=3，∴$HF=\sqrt{{B^'}{F^2}-{B^'}{H^2}}=\sqrt{5}$，FC=AD-BF=2S_△HFC=FC•CD=2，${S_{△{B^'}HF}}=\frac{1}{2}{B^'}H•HF=\sqrt{5}$，${V_{C-{B^'}HF}}={V_{{B^'}-HFC}}$，∴${S_{△{B^'}HF}}{d_C}={S_{△HFC}}•{B^'}H$，
∴${d_C}=\frac{{{S_{△HFC}}•{B^'}H}}{{{S_{△{B^'}HF}}}}=\frac{2×2}{{\sqrt{5}}}=\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力．