Question

14．已知数列{3^a_n}是首项为1公比为3的等比数列，则数列{$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}$}的前n项和S_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

Answer 1

分析 数列{3^a_n}是首项为1公比为3的等比数列，可得${3}^{{a}_{n}}$=3^n-1，a_n=n-1．于是$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：数列{3^a_n}是首项为1公比为3的等比数列，∴${3}^{{a}_{n}}$=1×3^n-1，即${3}^{{a}_{n}}$=3^n-1，可得a_n=n-1．
$\frac{1}{{{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴前n项和S_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$

点评 本题考查了指数运算性质、数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．