Question

4．已知A是单位圆O上的一个动点，且点A在第一象限．B是圆O与x轴正半轴的交点，记∠AOB=α，若点A在直线4x-3y=0上，求$\frac{si{n}^{2}（α-π）+sin（\frac{3π}{2}+α）}{co{s}^{2}（\frac{5π}{2}+α）+cos（-\frac{3π}{2}+α）}$的值．

Answer 1

分析 根据题意求得tanα=$\frac{4}{3}$，结合诱导公式对$\frac{si{n}^{2}（α-π）+sin（\frac{3π}{2}+α）}{co{s}^{2}（\frac{5π}{2}+α）+cos（-\frac{3π}{2}+α）}$进行化简，代入求值．

解答 解：∵直线4x-3y=0的斜率为$\frac{4}{3}$，
∴tanα=$\frac{4}{3}$，
∴点A在第一象限．B是圆O与x轴正半轴的交点，
∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{si{n}^{2}（α-π）+sin（\frac{3π}{2}+α）}{co{s}^{2}（\frac{5π}{2}+α）+cos（-\frac{3π}{2}+α）}$=$\frac{si{n}^{2}α-cosα}{si{n}^{2}α-sinα}$=$\frac{（\frac{4}{5}）^{2}-\frac{3}{5}}{（\frac{4}{5}）^{2}-\frac{4}{5}}$=-$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考察了同角三角函数关系式，属于基本知识的考查．