Question

10．在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，△PAC为等腰直角三角形，PA⊥PC，AC⊥BC，BC=2AC=4，M为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥PM；
（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段PB上是否存在点N使得平面CNM⊥平面PAB？若存在，求出$\frac{PN}{PB}$的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （I）取AC中点O，连接OP，OM，可证AC⊥平面POM，故而AC⊥PM；
（II）以O为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{PC}$与平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$的坐标，于是PC与平面PAB所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{PC}，\overrightarrow{n}$＞|；
（III）设$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$，用λ表示出$\overrightarrow{CN}$的坐标，求出$\overrightarrow{CM}$，求出平面CNM的法向量$\overrightarrow{m}$，令$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0得出λ．

解答 证明：（I）取AC中点O，连接OP，OM．
∵PA=PC，∴PO⊥AC，
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，
∴PO⊥平面ABC．
∵M是AB的中点，∴OM∥BC，
∵BC⊥AC，
∴OM⊥AC．又OP∩OM=O，
∴AC⊥平面POM，∵PM?平面POM，
∴AC⊥PM．
（II）以O为原点，以OA，OM，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则A（1，0，0），C（-1，0，0），P（0，0，1），B（-1，4，0）．
∴$\overrightarrow{PC}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{AB}$=（-2，4，0）．
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{-2x+4y=0}\end{array}\right.$，令y=1得$\overrightarrow{n}$=（2，1，2），∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{PC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{PC}|}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴PC与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（III）∵M（0，2，0），∴$\overrightarrow{PB}$=（-1，4，-1），$\overrightarrow{CP}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CM}$=（1，2，0）．
设线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB．
设$\overrightarrow{PN}=λ\overrightarrow{PB}$=（-λ，4λ，-λ），（0≤λ≤1）．则$\overrightarrow{CN}$=$\overrightarrow{CP}+\overrightarrow{PN}$=（1-λ，4λ，1-λ）．
设平面CNM的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CN}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{（1-λ）x+4λy+（1-λ）z=0}\end{array}\right.$，设y=1得$\overrightarrow{m}$=（-2，1，$\frac{2-6λ}{1-λ}$）．
∵平面CNM⊥平面PAB，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$．
即-4+1+$\frac{4-12λ}{1-λ}$=0，解得$λ=\frac{1}{9}$．
∴线段PB上存在点N使得平面CNM⊥平面PAB，$\frac{PN}{PB}$=$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，面面垂直的判定，属于中档题．