Question

把一根直径为d的圆木加工成横截面为矩形的横梁，横梁的强度y与横梁截面宽度的一次方及高度的二次方的积成正比；当圆木加工成截面为正方形的横梁时，其强度为9(强度单位)，问如何加工才能使横梁有最大强度?最大的强度为多少?(强度单位)

Answer 1

解法一：设横粱截面的宽为x，高为A，则x²+h²=d²

依题意设：y=kxh²

又x=h=d时，y=9．∴k=

∴y=f(x)=x(d²-x²)(0＜x＜d)

又y′==(d²-3x²)

令y′=0得：x=d

因f(x)只有一个极值，所以它是最大值，即当横梁宽为d，高为d时，横梁有最大强度，最大强度为8(强度单位) 

解法二：y²=x²(d²-x²)²

=·2x²(d²-x²)(d²-x²)

≤

=8²×3

当且仅当2x²=d²-x²，即x=d时， y²_max=8²×3，

∴y_max=8(强度单位).