Question

6．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点（1，2）
（Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）直线y=x-4与抛物线相交于AB两点，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线标准方程为y²=2px，将（1，2）代入即可求得p的值，即可求得抛物线的标准方程；
（Ⅱ）将直线y=x-4代入抛物线方程，求得x₁+x₂，x₁•x₂，代入直线方程求得y₁•y₂，由${k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{y{\;}_1•y{\;}_2}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{-16}{16}=-1$，即可OA⊥OB．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线标准方程为y²=2px…（2分）
∵抛物线过点（1，2），
∴4=2p，解得：p=2  …（4分）
∴y²=4x…（5分）
（Ⅱ）证明：由题意可知直线AB斜率是1，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
，$由\left\{\begin{array}{l}y=x-4\\{y^2}=4x\end{array}\right.消去y得{x^2}-12x+16=0$，
∴由韦达定理可知：x₁+x₂=12，x₁•x₂=16…（8分）
∴y₁•y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁•x₂-4（x₁+x₂）+16=16-4×12+16=-16…（10分）
∴${k_{OA}}•{k_{OB}}=\frac{{y{\;}_1•y{\;}_2}}{{{x_1}•{x_2}}}=\frac{-16}{16}=-1$，
∴OA⊥OB …（12分）

点评 本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及直线垂直的充要条件，考查计算能力，属于中档题．