Question

15．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，则数列{a_n}的前4n项之和为2n（n+1）．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，对n分类讨论可得：a_2k+2+a_2k=1，a_2k+1-a_2k-1=1，k∈N^*．利用分组求和、等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+2+（-1）ⁿa_n=1，
∴n=2k为偶数时，a_2k+2+a_2k=1；n=2k-1为奇数时，a_2k+1-a_2k-1=1，k∈N^*．
∴数列{a_n}的奇数项成等差数列，公差为1，首项为1．
∴数列{a_n}的前100项之和=（a₁+a₃+…+a_4n-3+a_4n-1）+[（a₂+a₄）+…+（a_4n-2+a_4n）]
=$2n+\frac{2n（2n-1）}{2}$×1+n
=2n（n+1）．
故答案为：2n（n+1）．

点评 本题考查了分组求和、等差数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．